publicado no dia 10.09.2018, por: Gustavo Aguiar

Fibonacci, a regra de ouro, o número Phi e outras curiosidades sobre proporções no universo.

 

Um dos assuntos que mais me intrigaram durante minha carreira de estudante e como profissional, é o mágico e polêmico número de ouro. Presente em pinturas renascentistas, estrutura de conchas de alguns seres, obras arquitetônicas clássicas, no crescimento populacional dos coelhos e no corpo humano, por exemplo, a regra de ouro é conhecida por quem se interessa em design, fotografia, arquitetura, publicidade, vídeo e afins.

Foi em um estudo sobre o crescimento da população de coelhos que Fibonacci, um dos maiores matemáticos da antiguidade, percebeu que a sequência formada pelos números de crias geradas mensalmente era o resultado da soma dos dois anteriores. (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…),

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

5 + 3 = 8

8 + 5 = 13…

…e assim sucessivamente.

Para isso, foi necessário que:

“ um casal de coelhos fosse colocado num campo; cada casal amadurecesse sexualmente e se reproduzisse apenas após o segundo mês de vida; não houvesse problemas genéticos ou algo que impossibilitasse a fertilidade de cada casal; e que os casais nunca morressem, dando luz a um novo casal a cada mês, a partir do segundo mês de vida.”

Em um ano:

No primeiro mês, haveria apenas um casal: o primeiro casal ainda não poderia se reproduzir.

no segundo mês, o primeiro casal se reproduziria, havendo dois casais.

no terceiro mês, o primeiro casal se reproduziria novamente, mas não o outro, havendo três casais.

no quarto mês, os dois primeiros casais se reproduziriam, mas não o terceiro, havendo cinco casais, e assim sucessivamente.

O resultado desse estudo, por si só, já é bastante intrigante. Uma razão matemática para reprodução de um animal?

Esta sequência é conhecida hoje pelo nome de sequência de Fibonacci mas também é chamada de número de ouro, ou proporção áurea / proporção divina.

Fibonacci também constatou que dividindo um número pelo anterior obtêm-se resultados que convergem para esse número de ouro, 1,618 , chamado phi. Ele então concluiu que a razão de 1,618 não só representava uma constante de crescimento de cada ninhada de coelhos, como também era uma constante universal de crescimento e evolução da natureza, a razão divina.

Seria um número mágico, que organiza o universo em uma mesma proporção.

Em um segmento AB, por exemplo, temos em C o ponto áureo da linha:

No pentagrama, a razão também aparece:

Ao transformar esses números da sequência em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, tem-se uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos.

Na natureza

Esta sucessão de números aparece misteriosamente em fenômenos naturais, além da reprodução dos coelhos, como:

  • A maioria das flores tem 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ou 89 pétalas.
  • Em grande parte das espécies vegetais a quantidade necessária de folhas a dar uma volta ao caule segue a sequência de Fibonacci.

CORPO

Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre o umbigo e a cabeça, o resultado será algo em torno de 1,618.

MÃOS

Com exceção do dedão, em todos os outros dedos as articulações se relacionam na razão áurea.

CONCHA DO CARAMUJO / CONCHAS MARÍTMAS

Várias conchas existentes na natureza seguem o padrão da espiral de ouro.

GIRASSOL
Suas sementes preenchem o miolo dispostas em duas séries de curvas de sementes. Cada série vai para uma direção e o número de curvas não é o mesmo nas duas séries. Se a flor tem 21 curvas para a esquerda, terá 34 para a direita. Se tem 34 para um lado, terá 55 para o outro. Se 55 curvas apontam para uma direção, 89 apontarão para a outra.

PINHA

As sementes crescem e se organizam em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito irradiam no sentido horário e 13 no anti-horário.

PRESA DO ELEFANTE
Se crescerem indeterminadamente, elas tendem a formar o desenho da espiral áurea.

PLANTAS
Uma planta mostra os números da sequência de Fibonacci nos seus pontos de crescimento. Todo mês , ela se ramifica segundo a razão áurea:

Outros exemplos são : população de abelhas, escamas de peixes e o crescimento das galáxias.

Nem tudo é perfeito

Foram realizados experimentos para testar a existência de uma face ideal que fosse considerada bonita pela maioria das pessoas. Os cientistas descobriram que as proporções não se encaixam na razão áurea:

Faces femininas foram julgadas mais atraentes quando a distância vertical entre os olhos e a boca era aproximadamente 36% do comprimento do rosto, e a distância horizontal entre os olhos era de aproximadamente 46% da largura do rosto.

Corpo humano

Em 1490, da Vinci produziu, entre outras obras em que usava proporção áurea, o Homem Vitruviano, onde são concebidas as proporções do corpo humano masculino:

– um palmo é o comprimento de quatro dedos
– um pé é o comprimento de quatro palmos
– o comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura
– a distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem
– a distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem
– a distância entre o cotovelo e a axila é um oitavo da altura de um homem
-o comprimento da mão é um décimo da altura de um homem
– a distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem…

… e a tabela continua com várias proporções relativas entre partes do corpo, baseando-se, em parte, nas proporções áureas.

Homem Vitruviano é considerado frequentemente como um símbolo da simetria do corpo humano e para o universo como um todo. Uma espécie de anatomia do phi.

NAS ARTES

Por representar uma proporção perfeita, é muito utilizado no design, na arte, na arquitetura, desde o tamanho dos cartões de créditos e caixas de cigarro até outdoors e design de veículos. Alguns exemplos clássicos:

POEMAS
Acharam o “número de ouro” na razão entre as estrofes maiores e menores da Ilíada, de Homero.

PARTENON

Os gregos já conheciam a proporção, mas não a fórmula para defini-la. A largura e a altura da fachada estão na proporção de 1 para 1,618.

PINTURAS

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, por exemplo, usa a razão na relação entre tronco e cabeça e entre elementos do rosto.

AS PIRÂMIDES EGÍPCIAS

Cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível imediatamente acima. Algumas câmaras internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura.

OBJETOS DO COTIDIANO

Diferentes formas de cartão de crédito já foram testadas e a favorita do público têm proporção na razão de ouro. Revistas, fotos e jornais também costumam adotá-la em na diagramação dos elementos.

PRÁTICA

Alguns designers ou profissionais de arquitetura usam esta proporção das mais diversas maneiras, como nos exemplos a seguir:

Mas para facilitar a nossa vida e não ter que se ater a diferentes cálculos e proporções, uma tática muito útil e simples pode ajudar muito em técnicas de composição para fotografia, diagramação ou layouts diversos: a regra dos terços.

Sobre a cena a ser retratada, traçamos quatro linhas imaginárias (ou seja, divide o quadro em terços) e coloca o objeto principal em um dos pontos formados pelas intersecções. Isso geralmente garante um enquadramento mais harmonioso.

Exemplo:

A imagem da direita é mais agradável aos olhos do que a da esquerda. A explicação para isso tem a ver com a Geometria.

A regra dos terços é uma simplificação da proporção áurea. É por isso, segundo estudiosos e matemáticos, que as pessoas preferem inconscientemente composições que seguem este padrão: elas representam imagens naturalmente equilibradas. Esta técnica é muito usada em composições gráficas e enquadramentos de cinema e fotografia.

Apesar de não ser uma obrigatoriedade, muitos artistas defendem o seu uso. Para outro grupo, isso não passa de coincidência e nada interfere em uma peça/obra finalizada.

Particularmente, no meu dia a dia como designer, não uso a proporção áurea minimamente calculada com tanta frequência (a não ser em casos específicos de construção de alguns logotipos, por exemplo). Porém, uso como uma condição natural de proporção para composições, onde, mesmo sem calcular, o profissional acaba mentalmente dispondo os elementos em sua área de trabalho de forma mais harmoniosa e, intuitivamente, usando a regra dos terços. Logicamente a regra não se aplica a composições com elementos centralizados ou alinhados propositalmente.

E claro, alguns memes surgiram, brincando com o fato que “tudo se encaixa na proporção áurea”, já que não é raro enxergar “forçadas de barra” em algumas peças de design, tentando justificar layouts ou elementos gráficos com estudos fakes de proporção áurea.

Portanto, não tomo isso como premissa, mas admiro quem consegue usar estas regras a favor de criações harmoniosas, e continuo instigado com suas atribuições na natureza, onde essa proporção existe verdadeiramente. Pra quem gosta de ficção científica, existem várias citações e referências à sequência de Fibonacci como algo elementar e universal, por vezes usado ou especulado em comunicação com seres extraterrestres e mitológicos.

Existe até uma régua para medir a proporção no dia a dia.

 

Para terminar, um clássico desenho da Disney onde o pato Donald descobre a magia do número de ouro (trecho do filme Donald no País da Matemágica).